Fonction Exponentielle

Programme Première • 0 XP gagnés

0 sections complétées

1. Cours

2. Propriétés

3. Graphique

4. Exercices

5. Difficiles

6. Démonstrations

Cours

La fonction exponentielle 📚

Découverte et propriétés fondamentales

🔍 Découverte : Qu'est-ce que e^x ?

Regardons d'abord le graphique de la fonction e^x pour comprendre ses propriétés :

✓e^x > 0 : toujours positive !

✓Définie sur ℝ : fonctionne pour tout x

✓e^x croissante : monte toujours

✓e^(-x) décroissante : descend toujours

✓e^0 = 1 : point de passage obligé

Graphique de e^x (jusqu'à x=3)

Échelle raisonnable : de e^(-2)≈0,14 à e^3≈20 - on voit bien la forme en "J" !

⚡ Propriétés fondamentales

e^a × e^b = e^a+b

e^a ÷ e^b = e^a−b

(e^a)ⁿ = e^a×n

e^x > 0 pour tout x ∈ ℝ

lim_x→−∞ e^x = 0

Si e^a = e^b alors a = b

(Injectivité)

Si e^a > e^b alors a > b

(Croissance stricte)

📐 Propriétés de dérivation

Dérivée simple

(e^x)' = e^x

La fonction exponentielle est sa propre dérivée !

Dérivée composée

(e^u)' = u' × e^u

Avec u fonction de x (règle de dérivation en chaîne)

💡 Remarque : C'est la seule fonction (à une constante multiplicative près) qui est égale à sa propre dérivée !

Simplifications

Calculs et simplifications 🧮

Maîtrise les propriétés pour simplifier les expressions

📝 Rappel des propriétés essentielles

e^a × e^b = e^a+b

e^a ÷ e^b = e^a−b

(e^a)ⁿ = e^a×n

💡 Exemples détaillés

Exemple 1 : Produit

e³ × e⁷=e³⁺⁷=e¹⁰

Exemple 2 : Quotient

e⁸ ÷ e³=e⁸⁻³=e⁵

Exemple 3 : Puissance

(e⁴)³=e^4×3=e¹²

Graphique interactif

Visualise la fonction exponentielle 📊

Modifie les paramètres pour comprendre l'impact sur la courbe

f(x) = e^(x)

Paramètres

Coefficient multiplicateur (a) : 1

Étire ou comprime verticalement la courbe

Coefficient exponentiel (k) : 1

Modifie la vitesse de croissance

Translation verticale (h) : 0

Déplace la courbe vers le haut ou le bas

📋 Propriétés actuelles

Passe par :(0, 1.0)

Croissance :Croissante

Vitesse :Normale

Exercices simples

Exercices d'application 🎯

Applique les propriétés de base

e^3 × e^5 = ?

e^7 ÷ e^4 = ?

(e^2)^3 = ?

e^0 × e^x = ?

Exercices difficiles

Défis avancés 🏆

Expressions complexes et équations exponentielles

Simplifier : (e^(2x+1) × e^(x-3)) ÷ e^(x+2)

Simplifier : (e^x)^3 × e^(-2x)

Résoudre : e^(2x-1) = e^5

Démonstrations

Démonstrations complexes 🧠

Niveau expert : "Montrer que..."

💪 Démonstration 1

Montrer que : (e^(2x+1) × e^(3-x)) ÷ (e^x × e^2) = e^(2-2x)

💡 Méthode :

Simplifier le numérateur : e^(2x+1) × e^(3-x)
Simplifier le dénominateur : e^x × e^2
Effectuer la division
Vérifier le résultat

📝 Solution détaillée :

Étape 1 : e^(2x+1) × e^(3-x) = e^(2x+1+3-x) = e^(x+4)

Étape 2 : e^x × e^2 = e^(x+2)

Étape 3 : e^(x+4) ÷ e^(x+2) = e^(x+4-x-2) = e^2

❌ Ce n'est pas égal à e^(2-2x) !

🔥 Démonstration 2

Montrer que : e^(2x) - 2e^x + 1 = (e^x - 1)²

✅ Solution :

Développons (e^x - 1)² :

(e^x - 1)² = (e^x)² - 2(e^x)(1) + 1²

= e^(2x) - 2e^x + 1

✅ C'est bien égal au membre de gauche !

⚡ Démonstration 3

Résoudre : e^(2x-1) = (e^3)^(x-2)

🎯 Solution :

Simplifions le membre de droite :

(e^3)^(x-2) = e^(3(x-2)) = e^(3x-6)

L'équation devient :

e^(2x-1) = e^(3x-6)

Les bases sont égales, donc :

2x - 1 = 3x - 6

-1 + 6 = 3x - 2x

5 = x

✅ Solution : x = 5

Quiz

Teste tes connaissances ! 🧠

Question 1 sur 5