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Dérivabilité et Racines

Cas particuliers des fonctions racines et technique du conjugué

🔍
Section 1

DÉRIVABILITÉ ET RACINES 🎯

DÉRIVABILITÉ ET RACINES

Cas particuliers des fonctions racines
📐 Quand les racines posent des problèmes de dérivabilité
📋
Section 2

Techniques Essentielles 📐

Formules de référence

Les outils indispensables pour résoudre les formes indéterminées

Technique du conjugué

(√a - √b) × (√a + √b) = a - b

Éliminer les formes indéterminées 0/0

Limite de référence

lim[h→0] (√(a+h) - √a)/h = 1/(2√a)

Dérivée de la fonction racine carrée

Condition de dérivabilité

f dérivable en a ⟺ lim existe et est finie

La limite du taux d'accroissement doit exister

🔧
Section 3

Méthode Détaillée 🧮

Méthode Détaillée

🎯 La Technique du Conjugué avec Exemple

Comment résoudre les indéterminations 0/0 avec les racines

📋 Énoncé

Exercice :
Soit f(x) = √(x + 3)
Montrer que f est dérivable en 1 et calculer f'(1)
Résolution par définition :
f'(1) = lim[h→0] (f(1+h) - f(1))/h
= lim[h→0] (√(4+h) - √4)/h
= lim[h→0] (√(4+h) - 2)/h
PROBLÈME !
Quand h → 0 : numérateur → 0 et dénominateur → 0
Forme indéterminée 0/0

✨ La Solution : Technique du Conjugué

Multiplier par le conjugué pour faire apparaître une identité remarquable
= lim[h→0] [(√(4+h) - 2)(√(4+h) + 2)] / [h(√(4+h) + 2)]
= lim[h→0] [(4+h) - 4] / [h(√(4+h) + 2)]
= lim[h→0] h / [h(√(4+h) + 2)]
= lim[h→0] 1 / (√(4+h) + 2)
= 1 / (√4 + 2) = 1/4
📝
Section 4

Exercices Pratiques 💪

Entraînement pratique

Maîtrisez la technique du conjugué avec des exercices !

Exercice 1/2

Dérivabilité en un point

📝 Énoncé

Soit f(x) = √(x + 3). Calculer f'(1) en utilisant la définition de la dérivée.

📑
Section 5

Points Clés 🎯

🎯 Points clés à retenir

✅ Vous savez maintenant :

  • • Identifier les formes indéterminées 0/0
  • • Appliquer la technique du conjugué
  • • Calculer des dérivées de fonctions racines
  • • Utiliser la définition de la dérivée

🎓 Prochaines étapes :

  • • Équation de la tangente
  • • Applications géométriques
  • • Étude de fonctions avancées
Vue d'ensembleÉquation de la tangente