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Équations du 3ème Degré

Résolution par recherche de racine évidente et factorisation

📚
Section 1

Équations du 3ème Degré par Racine Évidente 🧮

🎯 Principe de la méthode

1. Racine évidente

Tester des valeurs simples pour trouver une racine :

• x = 0
• x = ±1
• x = ±2
• x = ±3...
On substitue ces valeurs dans l'équation jusqu'à trouver P(α) = 0

2. Factorisation

Si α est racine, alors :

P(x) = (x - α) × Q(x)
Où Q(x) est un polynôme du 2nd degré qu'on trouve par division euclidienne

3. Résolution

Q(x) est du 2nd degré :

Q(x) = ax² + bx + c = 0
On applique toutes les techniques du second degré (discriminant, etc.)

💡 Pourquoi cette méthode fonctionne ?

1
Théorème fondamental :
Si α est racine de P(x), alors (x - α) divise P(x)
2
Degré du quotient :
Polynôme de degré 3 ÷ Polynôme de degré 1 = Polynôme de degré 2
3
Retour aux techniques connues :
On résout une équation du 2nd degré avec discriminant, forme canonique, etc.
🎯
Section 2

Résolution Pas à Pas 📝

Exemple : x³ - 6x² + 11x - 6 = 0

🔍 Étape 1 : Chercher une racine évidente

Équation : P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
Testons quelques valeurs simples :
P(0) = 0 - 0 + 0 - 6= -6 ≠ 0
P(1) = 1 - 6 + 11 - 6= 0 ✓
P(-1) = -1 - 6 - 11 - 6= -24 ≠ 0
P(2) = 8 - 24 + 22 - 6= 0 ✓
✓ Racines évidentes trouvées : x = 1 et x = 2
Étape 2 : Factorisation
Puisque x = 1 et x = 2 sont racines, on peut factoriser :
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - α)
En développant et comparant : α = 3
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)
Étape 3 : Solutions finales
Les solutions sont les valeurs qui annulent chaque facteur :
• x - 1 = 0 → x = 1
• x - 2 = 0 → x = 2
• x - 3 = 0 → x = 3
Solutions : x ∈ {1, 2, 3}

🎮 Testeur interactif de racines

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
P(0) = (0)³ - 6(0)² + 11(0) - 6 = -6
✗ Ce n'est pas une racine
⚙️
Section 3

Méthode Générale 🔧

Méthode générale de résolution

Algorithme complet pour résoudre toute équation du 3ème degré

Étape 1 : Chercher une racine évidente
Tester x = 0, ±1, ±2, ±3... jusqu'à trouver P(α) = 0
Étape 2 : Effectuer la division euclidienne
P(x) = (x - α) × Q(x) où Q(x) est du 2nd degré
Étape 3 : Résoudre Q(x) = 0
Utiliser le discriminant pour trouver les autres racines
Étape 4 : Rassembler toutes les solutions
Liste complète des racines de l'équation initiale

⚠️ Points importants

• Toutes les équations du 3ème degré n'ont pas de racine évidente
• Cette méthode ne fonctionne que si on trouve facilement une racine
• En général, on teste d'abord les petits entiers : 0, ±1, ±2, ±3
• Une fois une racine trouvée, le reste se résout comme au 2nd degré
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