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Forme Canonique

Transformer une fonction du second degré en forme canonique

🔍
Section 1

Qu'est-ce que la forme canonique ? 🎯

Définition

La forme canonique d'une fonction du second degré est :

f(x) = a(x - α)² + β

où (α, β) sont les coordonnées du sommet de la parabole

a: même coefficient qu'avant
α: abscisse du sommet
β: ordonnée du sommet

Pourquoi la forme canonique ?

📊 Lecture graphique
On lit directement le sommet (α, β)
📈 Variations
Facile de voir si la fonction croît ou décroît
🎯 Extremums
Le maximum ou minimum est directement visible

🔄 Transformation

Forme développée
ax² + bx + c
Forme canonique
a(x - α)² + β
📋
Section 2

Méthode : Cas a = 1 📝

Méthode pour a = 1

Quand a = 1, la méthode est plus simple. On "complète le carré" directement.

🎯 Étapes de la méthode

1
Partir de x² + bx + c
Identifier le coefficient b
2
Calculer (b/2)²
C'est le terme qu'on va ajouter et soustraire
3
Ajouter et soustraire (b/2)²
x² + bx + (b/2)² - (b/2)² + c
4
Factoriser le trinôme parfait
x² + bx + (b/2)² = (x + b/2)²
5
Simplifier
Obtenir la forme a(x - α)² + β

🧮 Exemple détaillé

1
x² + 6x + 5
Équation de départ
2
x² + 6x + 9 - 9 + 5
On ajoute et soustrait (6/2)² = 9
3
(x + 3)² - 9 + 5
On factorise x² + 6x + 9 = (x + 3)²
4
(x + 3)² - 4
Forme canonique : α = -3, β = -4
🔧
Section 3

Méthode : Cas a ≠ 1 📝

Méthode pour a ≠ 1

Quand a ≠ 1, on doit d'abord factoriser par a avant de compléter le carré.

🎯 Étapes de la méthode

1
Factoriser par a
ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c
2
Compléter le carré dans la parenthèse
Ajouter et soustraire (b/2a)²
3
Factoriser le trinôme parfait
x² + (b/a)x + (b/2a)² = (x + b/2a)²
4
Distribuer a
Multiplier a par ce qui est dans les parenthèses
5
Simplifier
Obtenir la forme a(x - α)² + β

🧮 Exemple détaillé

1
2x² + 8x + 3
Équation de départ
2
2(x² + 4x) + 3
On factorise le coefficient a = 2
3
2(x² + 4x + 4 - 4) + 3
Dans la parenthèse : (4/2)² = 4
4
2((x + 2)² - 4) + 3
On factorise x² + 4x + 4 = (x + 2)²
5
2(x + 2)² - 8 + 3
On distribue le 2
6
2(x + 2)² - 5
Forme canonique : α = -2, β = -5
📈
Section 4

Graphique Interactif 📊

Visualisation de la forme canonique

Explorez comment α et β influencent la position du sommet !

f(x) = 1(x - 0)² + 0
Sommet : (0, 0)
Ouverture/orientation
Position horizontale
Position verticale
S(0, 0)
📝
Section 5

Exercices : Cas a = 1 💪

Entraînement : a = 1

Maîtrisez la méthode avec ces exercices progressifs !

Mettre sous forme canonique : x² + 8x + 12

Trouvez les valeurs α et β

🎯 Méthode :

x² + 8x + 12
Équation de départ
x² + 8x + 16 - 16 + 12
On ajoute et soustrait (8/2)² = 16
(x + 4)² - 16 + 12
On utilise l'identité remarquable : x² + 8x + 16 = (x + 4)²
(x + 4)² - 4
On simplifie : -16 + 12 = -4

📝 Résultat :

α = -4, β = -4
Forme canonique : (x - (-4))² + (-4)

Mettre sous forme canonique : x² - 6x + 10

Trouvez les valeurs α et β

🎯 Méthode :

x² - 6x + 10
Équation de départ
x² - 6x + 9 - 9 + 10
On ajoute et soustrait (-6/2)² = 9
(x - 3)² - 9 + 10
On utilise l'identité remarquable : x² - 6x + 9 = (x - 3)²
(x - 3)² + 1
On simplifie : -9 + 10 = 1

📝 Résultat :

α = 3, β = 1
Forme canonique : (x - (3))² + (1)

Mettre sous forme canonique : x² + 10x + 21

Trouvez les valeurs α et β

🎯 Méthode :

x² + 10x + 21
Équation de départ
x² + 10x + 25 - 25 + 21
On ajoute et soustrait (10/2)² = 25
(x + 5)² - 25 + 21
On utilise l'identité remarquable : x² + 10x + 25 = (x + 5)²
(x + 5)² - 4
On simplifie : -25 + 21 = -4

📝 Résultat :

α = -5, β = -4
Forme canonique : (x - (-5))² + (-4)

Mettre sous forme canonique : x² - 2x + 5

Trouvez les valeurs α et β

🎯 Méthode :

x² - 2x + 5
Équation de départ
x² - 2x + 1 - 1 + 5
On ajoute et soustrait (-2/2)² = 1
(x - 1)² - 1 + 5
On utilise l'identité remarquable : x² - 2x + 1 = (x - 1)²
(x - 1)² + 4
On simplifie : -1 + 5 = 4

📝 Résultat :

α = 1, β = 4
Forme canonique : (x - (1))² + (4)
🔧
Section 6

Exercices : Cas a ≠ 1 💪

Entraînement : a ≠ 1

Défi plus complexe avec factorisation !

Mettre sous forme canonique : 3x² + 12x + 7

Trouvez les valeurs a, α et β

🎯 Méthode :

3x² + 12x + 7
Équation de départ
3(x² + 4x) + 7
On factorise par a = 3
3(x² + 4x + 4 - 4) + 7
Dans la parenthèse : (4/2)² = 4
3((x + 2)² - 4) + 7
On utilise l'identité remarquable : x² + 4x + 4 = (x + 2)²
3(x + 2)² - 12 + 7
On distribue le 3
3(x + 2)² - 5
On simplifie : -12 + 7 = -5

📝 Résultat :

a = 3, α = -2, β = -5
Forme canonique : 3(x - (-2))² + (-5)

Mettre sous forme canonique : -2x² + 8x - 3

Trouvez les valeurs a, α et β

🎯 Méthode :

-2x² + 8x - 3
Équation de départ
-2(x² - 4x) - 3
On factorise par a = -2
-2(x² - 4x + 4 - 4) - 3
Dans la parenthèse : (-4/2)² = 4
-2((x - 2)² - 4) - 3
On utilise l'identité remarquable : x² - 4x + 4 = (x - 2)²
-2(x - 2)² + 8 - 3
On distribue le -2
-2(x - 2)² + 5
On simplifie : 8 - 3 = 5

📝 Résultat :

a = -2, α = 2, β = 5
Forme canonique : -2(x - (2))² + (5)

Mettre sous forme canonique : 4x² - 16x + 11

Trouvez les valeurs a, α et β

🎯 Méthode :

4x² - 16x + 11
Équation de départ
4(x² - 4x) + 11
On factorise par a = 4
4(x² - 4x + 4 - 4) + 11
Dans la parenthèse : (-4/2)² = 4
4((x - 2)² - 4) + 11
On utilise l'identité remarquable : x² - 4x + 4 = (x - 2)²
4(x - 2)² - 16 + 11
On distribue le 4
4(x - 2)² - 5
On simplifie : -16 + 11 = -5

📝 Résultat :

a = 4, α = 2, β = -5
Forme canonique : 4(x - (2))² + (-5)

Mettre sous forme canonique : -x² + 6x - 8

Trouvez les valeurs a, α et β

🎯 Méthode :

-x² + 6x - 8
Équation de départ
-(x² - 6x) - 8
On factorise par a = -1
-(x² - 6x + 9 - 9) - 8
Dans la parenthèse : (-6/2)² = 9
-((x - 3)² - 9) - 8
On utilise l'identité remarquable : x² - 6x + 9 = (x - 3)²
-(x - 3)² + 9 - 8
On distribue le -1
-(x - 3)² + 1
On simplifie : 9 - 8 = 1

📝 Résultat :

a = -1, α = 3, β = 1
Forme canonique : -1(x - (3))² + (1)
RésolutionVariations