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Résolution des Équations du Second Degré

Maîtriser la résolution avec le discriminant et les formules

🔍
Section 1

Résoudre une Équation du Second Degré 🎯

Qu'est-ce que le discriminant ?

Le discriminant Δ permet de déterminer le nombre de solutions d'une équation ax² + bx + c = 0

Δ = b² - 4ac

📐 Méthode de résolution :

1. Identifier a, b, c dans ax² + bx + c = 0
2. Calculer Δ = b² - 4ac
3. Analyser le signe de Δ
4. Appliquer la formule correspondante

Visualisation interactive :

f(x) = 1x² + -5x + 6

🎯 Solutions = Intersections avec l'axe des x

Quand f(x) = 0, on trouve les solutions !

-8-4048x = 2.0x = 3.0
Discriminant Δ :1.0
Nombre de solutions :2 solutions
Solutions :x = 2.00, x = 3.00

💡 Astuce : Les points rouges montrent où f(x) = 0. C'est là que la parabole coupe l'axe des abscisses !

🎯 Point clé à retenir :

Résoudre f(x) = 0 revient à trouver les intersectionsde la parabole avec l'axe des abscisses. Le discriminant nous dit combien il y en a !

📖
Section 2

Les 3 Cas de Résolution 📚

🎯 Principe général

Pour résoudre ax² + bx + c = 0, on utilise le discriminant :
Δ = b² - 4ac
Le signe de Δ détermine le nombre et la nature des solutions

Cas 1 : Δ > 0 (positif)

🎯 Conclusion

Deux solutions distinctes
La parabole coupe l'axe des x en 2 points

📝 Pourquoi ?

• Δ > 0 ⟹ √Δ existe et est positif
• On peut calculer -b ± √Δ
• Cela donne 2 valeurs différentes

🔧 Formules

Solutions :
x₁ = (-b + √Δ) / (2a)
x₂ = (-b - √Δ) / (2a)

🧮 Exemple

x² - 5x + 6 = 0
Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
√Δ = √1 = 1
x₁ = (5 + 1)/2 = 3
x₂ = (5 - 1)/2 = 2
Solutions : x = 2 ou x = 3

Cas 2 : Δ = 0 (nul)

🎯 Conclusion

Une solution double
La parabole touche l'axe des x en 1 point

📝 Pourquoi ?

• Δ = 0 ⟹ √Δ = 0
• -b + √Δ = -b - √Δ = -b
• Une seule solution (comptée double)

🔧 Formule

Solution :
x = -b / (2a)

🧮 Exemple

x² - 4x + 4 = 0
Δ = (-4)² - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
x = -(-4)/(2×1) = 4/2 = 2
Solution double : x = 2

Cas 3 : Δ < 0 (négatif)

🎯 Conclusion

Aucune solution réelle
La parabole ne coupe pas l'axe des x

📝 Pourquoi ?

• Δ < 0 ⟹ √Δ n'existe pas dans ℝ
• Impossible de calculer -b ± √Δ
• Aucune solution réelle

🚫 Conclusion

Pas de solution dans ℝ
L'équation n'a pas de solution réelle

🧮 Exemple

x² + 2x + 5 = 0
Δ = (2)² - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
Δ < 0 ⟹ √Δ n'existe pas
Aucune solution réelle
🔢
Section 3

Calculateur Interactif 🧮

Calculateur de solutions

Modifiez les coefficients pour voir les solutions en temps réel !

⚙️ Paramètres

1x² + -3x + 2 = 0
Résultats
Discriminant
Δ = 1
Type
deux solutions distinctes
Solutions
x1 = 1.000, x2 = 2.000
📝
Section 4

Exercices Pratiques 💪

Entraînement pratique

Résolvez ces équations étape par étape !

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Exercice 1

Résoudre l'équation : x² - 5x + 6 = 0

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Exercice 2

Résoudre l'équation : x² - 4x + 4 = 0

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Exercice 3

Résoudre l'équation : x² + 2x + 5 = 0

IntroductionForme canonique