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Variations des Fonctions du Second Degré

Étudier les variations et dresser des tableaux de variations

📊

Section 1

Les Variations d'une Parabole 📈

Qu'est-ce que les variations ?

Les variations décrivent comment la fonction monte ou descend :

📈 Croissante : la fonction monte (y augmente)

📉 Décroissante : la fonction descend (y diminue)

🎯 Extremum : point le plus haut ou le plus bas

Les 2 cas selon le signe de a :

📐 Étape préalable INDISPENSABLE

Avant d'étudier les variations, il faut d'abord mettre la fonction sous forme canonique : f(x) = a(x - α)² + β
Cela permet d'identifier directement le sommet (α, β) de la parabole.

😊 Si a > 0 : La parabole "sourit"

Décroissante puis croissante
Possède un minimum au sommet

☹️ Si a < 0 : La parabole "boude"

Croissante puis décroissante
Possède un maximum au sommet

Visualisation interactive :

f(x) = 1(x - 1)² + -2

Sommet : (1, -2)

a = 1

α = 1

β = -2

🎭 Mood du coefficient a

🙂

Souriant

🎯 Méthode complète

1️⃣ Forme canonique

Écrire f(x) = a(x - α)² + β

2️⃣ Analyser le signe de a

a > 0 : minimum / a < 0 : maximum

3️⃣ Identifier le sommet

Extremum en (α, β)

4️⃣ Donner les variations

Décroissante puis croissante (ou inverse)

⚙️

Section 2

Manivelle Interactive 🎮

Contrôle par manivelle

Tournez la manivelle pour voir comment le coefficient a change l'allure de la parabole !

f(x) = 1(x - 1)² + -2

Coefficient a = 1 😊

🎛️ Manivelle de contrôle

Cliquez et faites glisser la poignée bleue

📊 Graphique temps réel

État actuel

Coefficient a : 1

Type : Minimum

Variations : Décroissante puis croissante

Sommet

Abscisse α : 1

Ordonnée β : -2

Coordonnées : (1, -2)

📊

Section 3

Tableau de Variations 📋

Comment dresser un tableau de variations

Le tableau de variations résume toutes les informations importantes sur la fonction.

📋 Modèle de tableau

Cas a > 0 (parabole souriante)

x	-∞	α	+∞
f(x)	+∞	β minimum	+∞

Cas a < 0 (parabole boudeuse)

x	-∞	α	+∞
f(x)	-∞	β maximum	-∞

💡 Points clés à retenir

📍L'extremum se trouve toujours en x = α

📈Si a > 0 : décroissante puis croissante

📉Si a < 0 : croissante puis décroissante

🎯La valeur de l'extremum est β

📝

Section 4

Exercices Pratiques 💪

Entraînement sur les variations

Analysez les variations de ces fonctions !

Étudier les variations de : f(x) = 2x² - 4x + 1

Analysez la fonction et déterminez ses variations

🎯 Analyse :

Coefficient a = 2

Positif → parabole souriante

Sommet : (1, -1)

Minimum de la fonction

Variations :

Décroissante sur ]-∞, α] puis croissante sur [α, +∞[

📊 Tableau de variations :

x	-∞	1	+∞
f(x)	+∞	-1 minimum	+∞

Étudier les variations de : g(x) = -x² + 6x - 5

Analysez la fonction et déterminez ses variations

🎯 Analyse :

Coefficient a = -1

Négatif → parabole boudeuse

Sommet : (3, 4)

Maximum de la fonction

Variations :

Croissante sur ]-∞, α] puis décroissante sur [α, +∞[

📊 Tableau de variations :

x	-∞	3	+∞
f(x)	-∞	4 maximum	-∞

Étudier les variations de : h(x) = 0.5x² + 2x + 3

Analysez la fonction et déterminez ses variations

🎯 Analyse :

Coefficient a = 0.5

Positif → parabole souriante

Sommet : (-2, 1)

Minimum de la fonction

Variations :

Décroissante sur ]-∞, α] puis croissante sur [α, +∞[

📊 Tableau de variations :

x	-∞	-2	+∞
f(x)	+∞	1 minimum	+∞

Forme canonique Tableaux de signes