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Équations avec Paramètres

Étudier les équations du second degré dépendant d'un paramètre

📚
Section 1

Équations avec Paramètre m 📐

🎯 Qu'est-ce qu'une équation avec paramètre ?

f(x) = ax² + bx + c
où a, b ou c dépendent d'un paramètre m
Le nombre de solutions et le signe de f(x) vont dépendre de m !
Exemple 1
x² + 2x + m = 0
c dépend de m
Exemple 2
mx² + 3x + 1 = 0
a dépend de m

📊 Méthode de résolution

🔍 Étapes à suivre :

1
Calculer Δ(m)
Δ = b² - 4ac en fonction de m
2
Étudier le signe de Δ(m)
Résoudre Δ(m) > 0, Δ(m) = 0, Δ(m) < 0
3
Conclure selon m
Nombre de solutions pour chaque intervalle de m

⚠️ Cas particuliers :

Si a dépend de m :
Vérifier d'abord si a = 0
→ L'équation devient du 1er degré !
Valeurs particulières :
Tester les valeurs de m qui annulent Δ
→ Racine double
Discussion complète :
Organiser la réponse par intervalles de m
→ Tableau de synthèse
🔢
Section 2

Exemple Détaillé & Calculateur 🧮

Étude de l'équation : x² + 2x + m = 0

x² + 2x + 1 = 0
Analyse
Discriminant Δ = 4 - 4m = 0.00
Δ = 0 : Une solution double
Solutions : x = -1.00 et x = -1.00

📊 Résolution complète :

Calcul du discriminant
Δ = b² - 4ac = 2² - 4(1)(m) = 4 - 4m
Étude du signe de Δ
Δ > 0 ⟺ 4 - 4m > 0 ⟺ m < 1
Δ = 0 ⟺ 4 - 4m = 0 ⟺ m = 1
Δ < 0 ⟺ 4 - 4m < 0 ⟺ m > 1
Conclusion
• Si m < 1 : deux solutions réelles distinctes
• Si m = 1 : une solution double (x = -1)
• Si m > 1 : aucune solution réelle
Tableaux de signesTechniques avancées